Initialbetingelser (Andreordens differensiallikninger)

Som for førsteordens differensiallikninger er du ofte ute etter en funksjon som er en løsning på en gitt differensiallikning sammen med ekstra betingelser. For andreordens differensiallikninger trenger du imidlertid to initialbetingelser i stedet for bare én. Du får typisk et punkt, altså en funksjonsverdi tilhørende en x-verdi, og en verdi for den deriverte i et punkt. Med disse to betingelsene kan du finne konstantene i den generelle løsningen, og få en spesiell løsning. Du bestemmer den spesielle løsningen ved å sette inn verdiene i initialbetingelsene for funksjonen og for x i formelen til funksjonen. Sett så inn for den deriverte og den tilhørende x-verdien, og løs likningssettet med to ukjente.

Eksempel 1

Løs differensiallikningen y + y y = 0 med initialbetingelser y(0) = 2 og y(0) = 1

Denne differensiallikingen har den generelle løsningen

y(x) = C1ex + C 2e2x.
(1)

Den deriverte av (1) er

y(x) = C 1ex 2C 2e2x.

For å finne C1 og C2 lager du to likninger med to ukjente fra initialbetingelsene og løser likningssettet:

2 = y(0) 1 = y(0) = C1e0 + C 2e0 = C 1e0 2C 2e0 = C1 + C2 = C1 2C2 C1 = 2 C2 1 = (2 C2) 2C2 = 2 3C2 C2 = 1 3 C1 = 2 1 3 = 5 3

Sett nå inn verdiene for C1 og C2 i den generelle løsningen (1) for å finne den spesielle løsningen

y(x) = 5 3ex + 1 3e2x.

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!