Funksjonsdrøfting av eksponentialfunksjoner

Du skal nå se et eksempel på drøfting av en eksponentialfunksjon. Oppskriften er som følger:

Regel

Drøfting av eksponentialfunksjoner

1.
Finn nullpunktene.
2.
Finn topp- og bunnpunktene.
3.
Finn vendepunktene.

Eksempel 1

Drøft funksjonen f(x) = 2x2 ex

Grafen til f(x) = 2x^2e^x.

1.
Finn nullpunktene ved å sette f(x) = 0:
2x2 ex = 0.

Nullfaktorregelen gir at 2x2 = 0 eller ex = 0. Imidlertid er ex alltid positiv, så du får

2x2 = 0 x2 = 0 x = 0

Nullpunktet er dermed i origo (0, 0).

2.
Finn topp- og bunnpunktene ved å sette f(x) = 0.

Finn først den deriverte av f(x) = 2x2 ex:

f(x) = 4x ex + 2x2 ex = ex (4x + 2x2) = 2x ex(2 + x)

Du setter nå uttrykket til den deriverte f(x) lik 0:

2x ex(2 + x) = 0.

Igjen er ex alltid positiv, så nullfaktorregelen gir at

2x = 0 x = 0 2 + x = 0 x = 2

For å finne punktene trenger du de tilhørende y-verdiene. Disse finner du ved å sette x-verdiene tilbake i hovedfunksjonen f(x):

y = f(0) = 2 02 e0 = 0 y = f(2) = 2(2)2 e2 = 8e2 = 8 e2

y = f(0) = 2 02 e0 = 0 y = f(2) = 2(2)2 e2 = 8e2 = 8 e2

Du må nå bestemme hvilket punkt som er et toppunkt, og hvilket punkt som er et bunnpunkt. Det gjør du ved å tegne fortegnslinjer.

Fortegnsskjema for f’(x) = 2xe^x(2+x).

Du ser av fortegnslinjene at toppunktet er (2, 8 e2 ) og at bunnpunktet er (0, 0).

3.
Finn vendepunktene ved å sette f(x) = 0.

Du finner først den andrederiverte ved å derivere f(x) = ex(4x + 2x2):

f(x) = ex (4x + 2x2) + ex(4 + 4x) = ex (4x + 2x2 + 4 + 4x) = ex (2x2 + 8x + 4)

Setter nå f(x) = 0 og løser likningen:

ex (2x2 + 8x + 4) = 0.

Siden ex alltid er positiv gir nullfaktorregelen at

2x2 + 8x + 4 = 0.

Denne løser du ved abc-formelen og får løsningene x 0,6 og x 3,4. Du finner de tilhørende y-verdiene ved å sette tilbake i hovedfunksjonen f(x). Da får du:

y = f(3,4) = 2 (3,4)2 e3,4 0,772 y = f(0,6) = 2(0,6)2 e0,6 = 8e0,6 0,395

Du har dermed vendepunkter i (3,4,0,772) og (0,6,0,395).

Vil du vite mer?Registrer degDet er gratis!